Question

設函數f（x）對于x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）說明函數f（x）是奇函數還是偶函數？
（2）探究f（x）在[-3，3]上是否有最值？若有，請求出最值，若沒有，說明理由；
（3）若f（x）的定義域是[-2，2]，解不等式：f(log2x)+f(log4x-4)＜2．

Answer 1

分析：（1）在恒等式中，用賦值法，可得f（0）的值，再令y=-x，變形可得f（x）+f（-x）=f（0），即可判斷出函數的奇偶性；
（2）設x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，結合（1）的結論，應用單調性的定義可得f（x）為減函數，即可得f（x）在[-3，3]上的最大值與最小值分別為f（3）、f（-3），借助f（x+y）=f（x）+f（y）與f（1）的值，即可求得得f（3）、f（-3）的值，從而得到f（x）在[-3，3]上的最值；
（3）利用恒等式將不等式變形為f（-log₂x）＜f（-1），再應用（2）中得到的函數的單調性去掉“f”，列出關于x的不等式組，求解即可得到不等式的解集．

解答：解：（1）∵函數f（x）對于x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令y=x=0，則有f（0）=0，
令y=-x，則有f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數；    
（2）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是減函數，則在[-3，3]上也是減函數，
∴f（x）當x=-3時有最大值f（-3），當x=3時有最小值f（3），
∵f（1）=-2，
∴f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，
∴f（-3）=-f（3）=6
∴當x=-3時，f（x）有最大值6，當x=3時，f（x）有最小值-6．
（3）∵f（1）=-2，且f（x）是奇函數，
∴f（-1）=-f（1）=2，
根據f（x+y）=f（x）+f（y），則f(log2x)+f(log4x-4)=f(log2x+log22x-4)=f(log2x+log2x-2)=f(log2x-1)，且2=f（-1），
∴不等式f(log2x)+f(log4x-4)＜2轉化為f（-log₂x）＜f（-1），
由（2）可知，f（x）在[-2，2]上是單調減函數，
∴

-2≤log2x≤2 -2≤log2x-2≤2 -log2x＞-1

，解得，

1

2

≤x≤2，
∴不等式f(log2x)+f(log4x-4)＜2的解集為[

1

2

，2)．

點評：本題考查的是抽象函數及其應用，涉及到了函數的奇偶性與單調性的證明和利用函數的單調性求最值，對于函數的奇偶性和單調性的證明一般選用定義法．本題的難點在于根據f（x+y）=f（x）+f（y），運用特殊值法，分析得到函數f（x）的性質以及函數值．屬于中檔題．