Question

已知函數f(x)是R上的增函數,a、b∈R.

(1)證明命題“如果a+b≥0,那么f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)成立”;

(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立,并證明你的結論.

Answer 1

(1)證明:當a+b≥0a≥-bb≥-a,且f(x)是R上的增函數,

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

(2)解析:逆命題“如果f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),則a+b≥0”是正確的,下面用反證法證明.

若a+b＜0,則a＜-b,b＜-a.又f(x)是R上的增函數,

∴f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b),這與條件f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾.

∴a+b≥0成立.