Question

（2010•江蘇模擬）設實數x，y滿足

x-y-2≤0 x+2y-5≥0 y-2≤0

則u=

y2-x2

xy

的取值范圍是

[-

8

3

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：先根據根的分布列出約束條件畫出可行域，再化簡u=

y

x

-

1

y x

，設z'=

y

x

最后利用幾何意義求最值，本例中

y

x

的取值的幾何意義是斜率．

解答：解：作出可行域，如圖
u=

y

x

-

1

y x

，設z'=

y

x

，
當把z'看作常數時，它表示直線y=z'x的斜率，
因此，當直線y=z'x過點A時，z最大；
當直線y=z'x過點B時，z最小．
由y=2，x+2y-5=0，得A（1，2）．
由x+2y-5=0，x-y-2=0，得B（3，1）．
∴z'_max=2，z_min=

1

3

．
故z'的取值范圍是[

1

3

，2]．
∴u=

y

x

-

1

y x

是關于z'=

y

x

單調增函數，它的取值范圍為[-

8

3

，

3

2

]．
故答案為：[-

8

3

，

3

2

]．

點評：本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題．