Question

設函數f（x）=-x³+3x+2分別在x₁、x₂處取得極小值、極大值．xOy平面上點A、B的坐標分別為（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），該平面上動點P滿足

PA

•

PB

=4，點Q是點P關于直線y=2（x-4）的對稱點．求
（Ⅰ）求點A、B的坐標；
（Ⅱ）求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）令f′（x）=0求出x的解，然后根據駐點分區間討論函數的增減性得到函數的極值，得到A、B的坐標；
（Ⅱ）設p（m，n），Q（x，y），由

PA

•

PB

=4，得

y-n

x-m

=-

1

2

，又因為PQ的中點在y=2（x-4）上，得

y+m

2

=2(

x+n

2

-4)消去m、n即可得到動點Q的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）令f'（x）=（-x³+3x+2）'=-3x²+3=0，
解得：x=1或x=-1
當x＜-1時，f'（x）＜0，
當-1＜x＜1時，f'（x）＞0，
當x＞1時，f'（x）＜0
所以，函數在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以，點A、B的坐標為A（-1，0），B（1，4）．
（Ⅱ）設p（m，n），Q（x，y），
∴

PA

•

PB

=(-1-m，-n)•(1-m，4-n)=m2-1+n2-4n=4，
∴kPQ=-

1

2

，即

y-n

x-m

=-

1

2

，
又PQ的中點在y=2（x-4）上，
所以

y+m

2

=2(

x+n

2

-4)
消去m，n得（x-8）²+（y+2）²=9

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，會用平面內兩個向量數量積的運算，以及會求動點的軌跡方程的能力．