Question

（本小題滿分14分）如圖,四棱錐P-ABCD是底面邊長為1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC=．

   （Ⅰ）求證：PD⊥面ABCD；

   （Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小．

                           

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）二面角A－PB－D的大小為60°。

【解析】（Ⅰ）證明:,

．……2分

    又,……4分

    ∴  PD⊥面ABCD………6分

    （Ⅱ）解:連結(jié)BD,設(shè)BD交AC于點O,

    過O作OE⊥PB于點E,連結(jié)AE,

    ∵PD⊥面ABCD, ∴,

    又∵AO⊥BD, ∴AO⊥面PDB．

    ∴AO⊥PB,

    ∵,

    ∴,從而,

    故就是二面角A－PB－D的平面角．……………………10分

    ∵ PD⊥面ABCD,   ∴PD⊥BD,

    ∴在Rt△PDB中, ,

    又∵,    ∴,………………12分

      ∴  ．

故二面角A－PB－D的大小為60°．…………………14分

    （也可用向量解）