Question

【題目】已知橢圓經過點，且其右焦點與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線經過點與橢圓相交于、兩點，與拋物線相交于、兩點.求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據拋物線方程得出橢圓的焦點坐標，結合橢圓經過的點，求解橢圓方程；

（2）聯立直線與曲線方程，結合韋達定理處理弦長的比例關系即可得解.

（1）由拋物線方程為，得其焦點，

∵橢圓右焦點與拋物線焦點重合，.

故①

又橢圓經過點②

由①②消去并整理，得，，解得：，或（舍去），

從而.故橢圓的方程為.

（2）當直線垂直于軸時，

則.

當直線與軸不垂直，設其斜率為，則直線的方程為：.

聯立，得：.

.

∴方程有兩個不等的實數根.設.

則.

所以，

.

由，得，.

，∴方程有兩個不等的實數根.設.

，

由拋物線的定義，得.

.

綜上，當直線垂直于軸時，取得最大值.