Question

（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）證明見解析。

（Ⅰ），上為增函數(shù)
（Ⅱ）當(dāng)時，,又由（Ⅰ）及時，,因此當(dāng)時,              ①
下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明                        ②
（ⅰ）由，，應(yīng)用式①得當(dāng)，即得當(dāng)時，不等式②成立.
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，不等式②成立，即，則由①可得，即，故當(dāng)時，不等式②成立
綜合（ⅰ）（ⅱ）證得，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，逐項(xiàng)遞增，故若存在正整數(shù)，使得，則，否則若，則由知， ③由③知
于是