Question

【題目】在如圖所示的五面體中，面ABCD為直角梯形，∠BAD=∠ADC= ，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取AD中點O，以O為原點，OA為x軸，

過O作AB的平行線為y軸，OE為z軸，

建立空間直角坐標系，

則B（1，1，0），E（0，0， ），A（1，0，0），

C（﹣1，2，0），F（0，4， ），

=（﹣1，﹣1， ）， =（﹣1，4， ），

=（﹣2，2，0），

=1﹣4+3=0， =2﹣2=0，

∴BE⊥AF，BE⊥AC，

又AF∩AC=A，∴BE⊥平面ACF．

（Ⅱ）解： =（﹣2，1，0）， =（﹣1，3， ），

設平面BCF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，2，﹣ ），

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

設二面角A﹣BC﹣F的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角A﹣BC﹣F的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中點O，以O為原點，OA為x軸，過O作AB的平行線為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BE⊥平面ACF．（Ⅱ）求出平面BCF的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣F的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．