Question

已知橢圓：（）的右焦點，右頂點,右準線且．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）動直線：與橢圓有且只有一個交點，且與右準線相交于點，試探究在平面直角坐標系內是否存在點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）利用橢圓的右準線方程為，及聯立方程組求得、，從而得出橢圓的方程；（2）聯立方程組消去得到關于的一元二次方程，利用判別式，得出，由橢圓的對稱性知，妨設點，利用推出，又聯立程組可求得的值.
試題解析：（1）由題意，，，，，由得.
橢圓C的標準方程為.                                 5分
（2）由得：，
，即，
,,即.    8分
假設存在點滿足題意，則由橢圓的對稱性知，點應在軸上，不妨設點.
又，，，若以為直徑的圓恒過定點，
則+=恒成立，
故，
即.                                                            12分
存在點適合題意，點與右焦點重合，其坐標為（1,0）.           13分