Question

（2011•溫州二模）已知實數；x，y滿足

y≥1 x+y≤2 y≤2x+m

且z=x+2y，若z的最小值的取值范圍為[0，2]，則z的最大值侑的取值范圍是

[

11

3

，5]

．

Answer 1

分析：由目標函數z=x+2y的最小值的取值范圍為[0，2]，我們可以畫出滿足條件

y≥1 x+y≤2

的可行域，根據目標函數的解析式形式，分析取得最優解的點的坐標，然后根據分析列出一個含參數m的方程組，消參后即可得到m的取值，然后求出此目標函數的最大值的取值范圍即可．

解答：解：畫出x，y滿足的可行域如下圖：
①令z=0，可得直線x+2y=0與直線y=1的交點B，使目標函數x+2y取得最小值，
由 

x+2y=0 y=1

，得B（-2，1）
代入y=2x+m得m=5，
由 

x+y=2 y=2x+5

，得N（-1，3）
可得直線z=x+2y過點N時，使目標函數x+2y取得最大值，最大值為：5．
②令z=2，可得直線x+2y=2與直線y=1的交點A，使目標函數x+2y取得最小值，
由 

x+2y=2 y=1

，得A（0，1）
代入y=2x+m得m=1，
由 

x+y=2 y=2x+1

，得M（

1

3

，

5

3

）
可得直線z=x+2y過點M時，使目標函數x+2y取得最大值，最大值為：

11

3

．
則z的最大值的取值范圍是[

11

3

，5]．
故答案為：[

11

3

，5]．

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．借助于平面區域特性，用幾何方法處理代數問題，體現了數形結合思想、化歸思想．線性規劃中的最優解，通常是利用平移直線法確定．