Question

【題目】如圖，在正方體中，點是底面的中心，是線段的上一點。

（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）能否存在點使得平面平面，若能，請指出點的位置關系，并加以證明；若不能，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）建立空間坐標系得到直線的方向向量和面的法向量，再由向量的夾角公式得到結果；（2）建立坐標系得到兩個面的法向量，再由法向量互相垂直得到結果.

不妨設正方體的棱長為2，以，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.

（1）因為點是的中點，

所以點的坐標為.

所以，，.

設是平面的法向量，則，

即.

取，則，所以平面的一個法向量為.

所以 .

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）假設存在點使得平面平面，設.

顯然，.

設是平面的法向量，則，即，

取，則，，所以平面的一個法向量為.

因為，所以點的坐標為.

所以，.

設是平面的法向量，則，即.

取，則，所以平面的一個法向量為.

因為平面平面，所以，即，，解得.

所以的值為2.即當時，平面平面.