Question

在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且BC=CD=1．
（Ⅰ）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的大小；
（Ⅲ）若直線BD與平面ACD所成的角為30°，求線段AB的長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證平面ACD⊥平面ABC，只需證明平面ACD內的直線CD，垂直平面ABC內的兩條相交直線AB，BC，即可證明CD⊥平面ABC，從而證明平面ACD⊥平面ABC．
（Ⅱ）說明∠CBD是二面角C-AB-D的平面角，解Rt△BCD，求二面角C-AB-D的大小；
（Ⅲ）過點B作BH⊥AC，垂足為H，連接DH．說明∠BDH為BD與平面ACD所成的角，利用直線BD與平面ACD所成的角為30°，解三角形求線段AB的長度．

解答：解：
（Ⅰ）證明：∵CD⊥AB，CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC．（2分）
又∵CD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）∵AB⊥BC，AB⊥CD，
∴AB⊥平面BCD∴AB⊥BD．
∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角．（6分）
∵在Rt△BCD中，BC=CD，
∴∠CBD=45°．
∴二面角C-AB-D的大小為45°．（9分）
（Ⅲ）過點B作BH⊥AC，垂足為H，連接DH．∵平面ACD⊥平面ABC，
∴BH⊥平面ACD，
∴∠BDH為BD與平面ACD所成的角．（12分）
∴∠BDH=30°．
在Rt△BHD中，BD=

2

，
∴BH=

2

2

．
又∵在Rt△BHC中，BC=1，
∴∠BCH=45°，
∴在Rt△ABC中，AB=1．（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，轉化思想，是中檔題．