Question

【題目】四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分別為線段AB，BC的中點．

（1）線段AP上一點M，滿足，求證：EM∥平面PDF；

（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，利用·=0，即可證明EM∥平面PDF；

（2）求出平面PDF和平面PAD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值．

（1）由題意，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，

設PA=a，則A（0，0，0），M（0，0，），P（0，0，a），F（2，1，0），D（0，2，0），

E（1，0，0），所以=（-1，0，），=（2，1，-a），=（0，2，-a），

設平面PDF的法向量=（x，y，z），

則，取z=2，得=（，a，2），

∵·=-+2×=0，EM平面PDF，∴EM∥平面PDF．

（2）因為PB與平面ABCD所成的角為45°，可得PA=AB=2，

所以P（0，0，2），D（0，2，0），F（2，1，0），

所以=（0，2，-2），=（2，1，0），

設平面PDF的法向量為=（x，y，z），

則，取y=1，得=（，1，1），

又由平面PAD的法向量=（1，0，0），

設二面角A-PD-F的平面角為θ，則，

∴二面角A-PD-F的余弦值為．