Question

如圖，已知點F（0，1），直線L：y=-2，及圓C：x²+（y-3）²=1．
（1）若動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，求動點M的軌跡E的方程；
（2）過點F的直線g交軌跡E于G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）兩點，求證：x₁x₂ 為定值；
（3）過軌跡E上一點P作圓C的切線，切點為A、B，要使四邊形PACB的面積S最小，求點P的坐標及S的最小值．

Answer 1

分析：（1）由動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，可得M到點F的距離與它到直y=-1的距離相等，由拋物線的定義可知M的軌跡是以F為焦點，以y=-1為準線的拋物線，從而可求方程
（2）由題意可得直線g的斜率存在，故可設直線g的方程為y=kx+1，聯立直線與拋物線方程，由方程的根與系數關系可求
（3）設P（x，y），則x²=4y（y≥0），由圓的切線性質可得S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=2×

1

2

×PA×AC=PA=

PC2-1

=

x2+(y-3)2-1

=

y2-2y+8

，由二次函數的性質可求最小值及取得最小值時的 p

解答：解：（1）由動點M到點F的距離比它到直線L的距離小1，可得M到點F的距離與它到直y=-1的距離相等
由拋物線的定義可知M的軌跡是以F為焦點，以y=-1為準線的拋物線
其方程為x²=4y
（2）由題意可得直線g的斜率存在，故可設直線g的方程為y=kx+1
聯立方程

y=kx+1 x2=4y

  整理可得 x²-4kx-4=0
由方程的根與系數關系可得x₁x₂=-4
 （3）設P（x，y），則x²=4y（y≥0）
由圓的切線的性質可得PA=PB，CA⊥PA，CB⊥PB
S_{四邊形PACB}=2S_△PAC=2×

1

2

×PA×AC=PA
=

PC2-1

=

x2+(y-3)2-1

=

y2-2y+8

=

(y-1)2+7

≥

7

∴P（±2，1），Smin=

7

點評：本題主要考查了利用拋物線的定義求解拋物線的方程，方程的根與系數關系的應用，圓的切線性質的應用及利用二次函數的性質求解函數的最值等知識的綜合應用．