Question

（本小題滿分13分）
已知直線，圓.
(Ⅰ)證明：對(duì)任意，直線恒過一定點(diǎn)N，且直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)；
(Ⅱ)設(shè)以CN為直徑的圓為圓D（D為CN中點(diǎn)），求證圓D的方程為：
（Ⅲ）設(shè)直線與圓的交于A、B兩點(diǎn)，與圓D:交于點(diǎn)（異于C、N），當(dāng)變化時(shí)，求證為AB的中點(diǎn).

Answer 1

(Ⅰ)∵N在圓C內(nèi)，∴直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn).
(Ⅱ)軌跡的方程為.

試題分析：（1）利用圓心到直線的距離小于半徑，判定，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B；
（2）求解CN的中點(diǎn)坐標(biāo)和CN的長(zhǎng)度的一半得到圓心和半徑進(jìn)而求解圓的方程。
（3）利用圓的方程以及交點(diǎn)問題得到求證。
(Ⅰ)方法1：聯(lián)立方程組
消去，得

∴直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)………………………………………………6分
方法2：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為
由可得：.
解得，所以直線過定點(diǎn)N(1,-1)
∵N在圓C內(nèi)，∴直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn).…………………………6分
(Ⅱ)設(shè)CN的中點(diǎn)為D，由于°，
∴
∴M點(diǎn)的軌跡為以CN為直徑的圓.
CN中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,0)，.
∴軌跡的方程為.……………………13分
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于圓的方程的求解的常用方法的運(yùn)用，以及通過圓心到直線的距離判定線圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。