【題目】如圖所示，四棱錐
中，
底面
，
，
，
，
，
，
為
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）見解析； （2）
.
【解析】
（1）在
中，由余弦定理可解得：
所以
，所以是直角三角形，
又
為等邊三角形，所以
，所以
，即可證明
平面
；
（2）：由（1）可知
，以點
為原點，以
,
，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立空間直角坐標系，利用空間向量可求直線
與平面
所成角的正弦值.
（1）證明：因為
，
，
，
所以
，
，
在中，
，，
，
由余弦定理可得：
解得：
所以，所以是直角三角形，
又
為
的中點，所以
又，所以
為等邊三角形，
所以，所以，
又
平面，
平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可知，以點為原點，以,，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則
，
，
，
.
所以
，
，
.
設
為平面的法向量，則
，即
設
，則
，
，即平面的一個法向量為
，
所以
所以直線與平面所成角的正弦值為.
全能練考卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黨的“十八大”之后，做好農業農村工作具有特殊重要的意義.國家為了更 好地服務于農民、開展社會主義新農村工作，派調查組到農村某地區考察.該地區有100戶農 民，且都從事蔬菜種植.據了解，平均每戶的年收入為6萬元.為了調整產業結構，當地政府決 定動員部分農民從事蔬菜加工.據統計，若動員
戶農民從事蔬菜加工，則剩下的繼續 從事蔬菜種植的農民平均每戶的年收入有望提高
，而從事蔬菜加工的農民平均每戶的年收入為
萬元.
（1）在動員
戶農民從事蔬菜加工后，要使剩下
戶從事蔬菜種植的所有農民總年收 入不低于動員前100戶從事蔬菜種植的所有農民年總年收入，求
的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這戶農民從事蔬菜加工的總年收入始終不高于戶從事蔬菜種植的所有農民年總年收入，求
的最大值.（參考數據：
)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
過定點
，并且內切于定圓
.
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）若
上存在兩個點
，
，（1）中曲線上有兩個點
，
，并且，，
三點共線，，，三點共線，
，求四邊形
的面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
,
是經過小城
的東西方向與南北方向的兩條公路，小城
位于小城的東北方向，直線距離
.現規劃經過小城修建公路
(
,
分別在與上)，與,圍成三角形區域
.
(1)設
，
,求三角形區域周長的函數解析式
;
(2)現計劃開發周長最短的三角形區域，求該開發區域的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（12分）已知函數
．
（1）若x=2是函數f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1,f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在
上為單調增函數，求a的取值范圍；
（3）設m，n為正實數，且m>n，求證： 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
在區間
上有最小值1，最大值9.
（1）求實數a，b的值；
（2）設
，若不等式
在區間
上恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）設
），若函數
有三個零點，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某高校共有學生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．為調查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數據(單位：小時)．
(1)應收集多少位女生的樣本數據？
(2)根據這300個樣本數據，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數據的分組區間為：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率．
(3)在樣本數據中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別列聯表，并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關”．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數．
(1)求k的值；
(2)設g(x)＝log4
，若函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分14分）已知過原點的動直線
與圓
相交于不同的兩點
，
．
（1）求圓
的圓心坐標；
（2）求線段
的中點
的軌跡
的方程；
（3）是否存在實數
，使得直線
與曲線只有一個交點？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．
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