Question

已知曲線E上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F₁(－，0)和F₂(，0)的距離之和為4．
(1)求曲線E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)(0，－2)的直線l與曲線E交于C、D兩點(diǎn)，且·＝0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1
（2）y＝2x－2或y＝－2x－2

(1)根據(jù)橢圓的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為橢圓，其中a＝2，c＝，∴b＝＝1．
∴曲線E的方程為＋y²＝1．
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx－2，
設(shè)C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，
∵·＝0，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0，
由方程組，得(1＋4k²)x²－16kx＋12＝0，
∴x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
又∵y₁·y₂＝(kx₁－2)(kx₂－2)＝k²x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4，
∴x₁x₂＋y₁y₂＝(1＋k²)x₁x₂－2k(x₁＋x₂)＋4＝－＋4＝0，
解得k²＝4，即k＝2或k＝－2，
所以，直線l的方程是y＝2x－2或y＝－2x－2．