Question

( (本小題滿分13分)

已知函數f(x)＝(a－1)x＋aln(x－2)，(a<1).

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)設a<0時，對任意x₁、x₂∈(2，＋∞)，<－4恒成立，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

.解：(1) ∵f′(x)＝(a－1)＋＝(1分)

      ①a<0時，f′(x)＝

∵－2＝<0，∴0<<2，∴x>2時，f′(x)<0

∴f(x)在(2，＋∞)上遞減.(3分)

②a＝0時，f(x)＝－x，在(2，＋∞)上遞減.(4分)

③0<a<1時，>2

∴x∈(2， )時，f′(x)>0，f(x)在(2，)上遞增；

當x∈(，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)在(，＋∞)上遞減；(6分)

∴綜上所述，當a≤0時，f(x)在(2，＋∞)上遞減，

當0<a<1時，f(x)在(2，)上遞增，在(，＋∞)上遞減.(7分)

(2)當a<0時，f(x)在(2，＋∞)上遞減；

不妨設任意x₁，x₂∈(2，＋∞)且x₁<x₂

<－4可變為f(x₁)－f(x₂)>－4(x₁－x₂)

f(x₁)＋4x₁>f(x₂)＋4x₂

∴令g(x)＝f(x)＋4x，∴g(x)在(2，＋∞)上遞減

∴g′(x)<0在(2，＋∞)上恒成立

∴a－1＋＋4<0在(2，＋∞)上恒成立.

a<－3＋在(2，＋∞)上恒成立

而－3<－3＋<0，∴a≤－3.(13分)

 

【解析】略