Question

（2012•浦東新區一模）定義域為[a，b]的函數y=f（x）圖象的兩個端點為A，B，向量

ON

=λ 

OA

+(1-λ) 

OB

，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=λ

a

+（1-λ）

b

，λ∈[0，1]．若不等式|MN|≤k恒成立，則稱函數f（x）在[a，b]上滿足“k范圍線性近似”，其中最小的正實數k稱為該函數的線性近似閥值．下列定義在[1，2]上函數中，線性近似閥值最小的是（　　）

• A．y=x²
• B．y=

  2

  x

• C．y=sin

  π

  3

  x
• D．y=x-

  1

  x

Answer 1

分析：由已知，先得出M、N橫坐標相等，將問題轉化為求函數的最值問題．

解答：解：由題意，M、N橫坐標相等，不等式|MN|≤k對λ∈[0，1]恒成立，最小的正實數k應為|MN|的最大值．
①對于函數y=x²，由A、B是其圖象上橫坐標分別為a、b的兩點，則A（1，1），（2，4）∴AB方程為y-1=

4-1

2-1

（x-1），即y=3x-2
|MN|=|x²-（3x-2）|=|（x-

3

2

）²-

1

4

|≤

1

4

，線性近似閥值為

1

4

．
②同樣對于函數y=

2

x

，由A（1，2），（2，1），AB方程為y=-x+3，|MN|═-x+3-

2

x

=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，線性近似閥值為3-2

2

．
③同樣對于函數y=sin

π

3

x，A（1，

3

2

），B（2，

3

2

），AB方程為y=

3

2

，由三角函數圖象與性質可知|MN|≤1-

3

2

，線性近似閥值為1-

3

2

，
④同樣對于函數y=x-

1

x

，得A（1，0），B（2，

3

2

），
∴直線AB方程為y=

3

2

（x-1）
∴|MN|=x-

1

x

-

3

2

（x-1）=

3

2

-（

x

2

+

1

x

）≤

3

2

-

2

，線性近似閥值為

3

2

-

2

．
由于為

1

4

＞3-2

2

＞1-

3

2

＞

3

2

-

2

．所以線性近似閥值最小的是y=x-

1

x

故選D

點評：本題考查向量知識的運用，考查函數最值求解，解答的關鍵理解新概念，將已知條件進行轉化．