Question

設m，n∈N，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ，
（1）當m=n=7時，若f（x）=a₇x⁷+a₆x⁶+a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀求a₀+a₂+a₄+a₆．
（2）當m=n時，若f（x）展開式中x²的系數是20，求n的值．
（3）f（x）展開式中x的系數是19，當m，n變化時，求x²系數的最小值．

Answer 1

分析：（1）本題可以應用賦值法分別令x=1，x=-1，寫出兩個等式，把兩個等式相加得到要求的下標是偶數的系數的和．
（2）寫出二項式的展開式，根據當m=n時，f（x）展開式．中x²的系數是20，得到T₃=2C_n²x²=20x²，求出n的值．
（3）要求一個系數的最小值，首先表示出這個項的系數，根據m，n之間的關系，代入系數的表示式，根據二次函數的最值求法得到結果．

解答：解：（1）本題可以應用賦值法：分別令x=1，x=-1，
2⁸=a₇+a₆+a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀
0=-a₇+a₆-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀
兩個式子相加得a₀+a₂+a₄+a₆=128…（4分）
（2）∵當m=n時，f（x）展開式中x²的系數是20，
∴T₃=2C_n²x²=20x²，
∴n=5…（8分）
（3）當m+n=19，
x²的系數為：

C

2 m

+

C

2 n

=

1

2

m(m-1)+

1

2

n(n-1)
=

1

2

[(m+n)2-2mn-(m+n)]=171-mn=171-(19-n)n=(n-

19

2

)2+

323

4

∴當n=10或n=9時，f（x）展開式中x²的系數最小為81．…（12分）

點評：本題考查二項式定理的應用，本題解題的關鍵是正確利用二項式的展開式，本題還結合二次函數的性質，是一個綜合題目．