Question

【題目】已知在多面體SP﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E為BC的中點．

（1）求證：AE∥面SPD；

（2）求三棱錐S-BPD的體積。

Answer 1

【答案】. （1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）要證線面平行，在題目中構造平行四邊形AECQ，證得線線平行，再得線面平行。（2）根據三棱錐的體積公式，換頂點為Ｖ＝，再根據公式求出體積。

證明：（1）取SD的中點F，連接PF，過F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，連接QC，

∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF為SD的中點，∴Q為AD的中點，

FQ=AS，PC=AS，∴FQ=PC，且FQ∥PC，∴CPFQ為平行四邊形，∴PF∥CQ，

又∵AQ∥∥EC，AQ=EC，∴四邊形AECQ為平行四邊形，∴AE∥CQ，

又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF面SPD，AE面SPD，∴AE∥面SPD．

（2）設AC,BD交于點O，

Ｖ＝。