Question

已知：A（5，0），B（0，5），C（cosα，sinα），α∈（0，π）．
（1）若

AC

⊥

BC

，求sin2α；
（2）若|

OA

+

OC

|=

31

，求

OB

與

OC

的夾角．

Answer 1

分析：（1）求出

AC

，

BC

，由于

AC

⊥

BC

，那么

AC

•

BC

=0，化簡，即可得到sin2α，求解即可．
（2）求出

OA

+

OC

，利用|

OA

+

OC

|=

31

，解出cosα，再求

OB

•

OC

，利用cosθ=

OB • OC

| OB |•| OC |

求

OB

與

OC

的夾角．

解答：解：（1）

AC

=(cosα-5，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-5)，（1分）

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=cosα(cosα-5)+sinα(sinα-5)=0，
即sinα+cosα=

1

5

，（4分）
∴(sinα+cosα)2=

1

25

，∴sin2α=-

24

25

，（7分）
（2）

OA

+

OC

=(5+cosα，sinα)，
則|

OA

+

OC

|=

(5+cosα)2+sin2α

=

31

（9分）
∴cosα=

1

2

又α∈（0，π），∴sinα=

3

2

，C(

1

2

，

3

2

)，
∴

OB

•

OC

=

5 3

2

，（11分）
設

OB

與

OC

夾角為θ，則cosθ=

OB • OC

| OB |•| OC |

=

5 2 3

5•1

=

3

2

，
∴θ=30°，

OB

與

OC

夾角為30°．（14分）．

點評：本題考查平面向量的數量積，二倍角的正弦，同角三角函數的基本關系式，考查學生計算能力，是基礎題．