Question

已知函數f（x）=x²-4ax+2a+6（a∈R）．
（1）若函數的值域為[0，+∞），求a的值；
（2）若函數值為非負數，求函數f（a）=2-a|a+3|的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）二次函數的值域，可以結合二次函數的圖象去解答，這里二次函數圖象開口向上，△≤0時，值域為[0，+∞）
（2）在（1）的結論下，化簡函數f（a），轉化為求二次函數在閉區間上的最值問題．
解答：解：（1）∵函數的值域為[0，+∞），即二次函數f（x）=x²-4ax+2a+6圖象不在x軸下方，
∴△=0，即16a²-4（2a+6）=0，∴2a²-a-3=0，
解得：a=-1或a=．
（2）由（1）知，對一切x∈R函數值均為非負數，
有△≤0，即-1≤a≤；∴a+3＞0，
∵f（a）=2-a|a+3|=-a²-3a+2=-²+，其中  ；
∴二次函數f（a）在上單調遞減．
∴f≤f（a）≤f（-1），即-≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域為．
點評：本題屬于二次函數的值域問題，通常結合二次函數的圖象，還是容易解得問題．