Question

（2013•成都模擬）若函數f（x）滿足：在定義域內存在實數x₀，使f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）（k為常數），則稱“f（x）關于k可線性分解”．
（1）函數f（x）=2^x+x²是否關于1可線性分解？請說明理由；
（2）已知函數g（x）=lnx-ax+1（a＞0）關于a可線性分解，求a的范圍；
（3）在（2）的條件下，當a取最小整數時；
（i）求g（x）的單調區間；
（ii）證明不等式：（n!）²≤e^n（n-1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=2^x+x²是關于1可線性分解，令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2（2^x-1+x-1），可得h（0）=-1＜0，h（1）=2，利用零點存在定理，即可求得結論；
（2）根據新定義，可得ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx₀-ax₀+1+lnx-a²+1，從而可得x₀=

a

ae-1

＞0，由此可求a的范圍；
（3）（i）求導函數，由導數的正負，即可求得g（x）的單調區間；
（ii）先證明lnx≤x-1，再累加，即可證得結論．

解答：（1）解：函數f（x）=2^x+x²是關于1可線性分解，理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1=2（2^x-1+x-1）
∴h（0）=-1＜0，h（1）=2
∴h（x）在（0，1）上至少有一個零點
即存在x₀∈（0，1），使f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）；
（2）由已知，存在實數x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a）（a為常數），
即ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx₀-ax₀+1+lnx-a²+1
∴ln

x0+a

ax0

=1
∴

x0+a

ax0

=e
∴x₀=

a

ae-1

＞0
∵a＞0，∴a＞

1

e

；
（3）（i）解：由（2）知，a=1，g（x）=lnx-x+1，g′(x)=

1-x2

x

（x＞0）
∴x∈（0，1）時，g′（x）＞0，∴g（x）的增區間是（0，1）；x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，∴g（x）的減區間是（1，+∞）；
（ii）證明：由（i）知x∈（0，+∞），g（x）≤g（1），即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1
∴ln1=0，ln2＜1，ln3＜2，…，lnn＜n-1
相加得：ln1+ln2+…+lnn≤1+2…+（n-1）
即lnn!≤

n(n-1)

2

∴（n!）²≤e^n（n-1）（當且僅當n=1時取“=”號）．

點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，解題的關鍵是正確理解新定義，屬于中檔題．