Question

已知圓錐的母線長與底面半徑長之比為3：1，一個正方體有四個頂點在圓錐的底面內，另外的四個頂點在圓錐的側面上（如圖），則圓錐與正方體的表面積之比為（　　）

• A、π：1
• B、3π：1
• C、3π：2
• D、3π：4

Answer 1

分析：根據幾何體作出軸截面，由圖和題意列出圓錐的半徑和正方體棱長的關系式，求出它們的長度關系，再代入對應的面積公式，求出表面積的比值．

解答：解：作出幾何體的軸截面如圖：
由題意設圓錐的底面半徑為r，
則母線長l=3r，
則圓錐的高h=2

2

r，設正方體的棱長為a，
由軸截面得，

h-a

h

=

2 a

2r

，即

2 2 r-a

2 2 r

=

2 a

2r

，解得3a=2

2

r，
∴圓錐與正方體的表面積之比為（πr²+πrl）：6a²=4πr²：6a²=3π：4，
故選D．

點評：本題的考點是由三視圖求幾何體的體積、表面積，需要由三視圖判斷空間幾何體的結構特征，并根據三視圖求出每個幾何體中幾何元素的長度，代入對應的體積以及面積公式分別求解，對于多面體需要把各個面的面積求和即它的表面積，考查了空間想象能力．