Question

第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．
已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F₁、F₂，拋物線M：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點F₂，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的方程；
（3）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長為連續的自然數．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，所以可求出a，b的關系，當m=1時，可知拋物線的方程，進而求出拋物線的準線方程，因為拋物線M：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，所以可以得到c的值，再根據橢圓中a，b，c的關系，即可求出橢圓方程．
（2）設出直線l的點斜式方程，與橢圓方程聯立，利用弦長公式求出弦|AB|的長，因為弦長|AB|等于△PF₁F₂的周長，
可求出直線l的斜率，進而求出直線l的方程．
（3）先假設存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長為連續的自然數．則可用含m的方程表示橢圓與拋物線，聯立，解得P點坐標，利用焦半徑公式求出△PF₁F₂的三邊長，再根據假設求m，若能求出，則假設正確，若求不出，則假設不正確．
解答：解：（1）設橢圓的實半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，
當m=1時，由題意得，a=2c=2，b²=a²-c²=3，a²=4，
所以橢圓的方程為．
（2）依題意知直線l的斜率存在，設l：y=k（x-1），由得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由直線l與拋物線M有兩個交點，可知k≠0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理得，則（6分）又△PF₁F₂的周長為2a+2c=6，所以，
解得，從而可得直線l的方程為
（3）假設存在滿足條件的實數m，
由題意得c=m，a=2m⇒b²=3m²，所以橢圓C的方程為
聯立解得即．
所以，，|F₁F₂|=2m，
即△PF₁F₂的邊長分別為、、，顯然|PF₂|＜|F₁F₂|＜|PF₁|，
所以，故當m=3時，使得△PF₁F₂的邊長為連續的自然數．
點評：本題主要考查了橢圓方程的求法，直線與橢圓位置關系的判斷．