Question

21.某公司全年的純利潤為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工.獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績（工作業(yè)績均不相同）從大到小.由1至n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工.并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.

 

（1）設(shè)a_k（1≤k≤n）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a₂、a₃，并用k、n和b表示a_k ；（不必證明）

 

（2）證明a _k＞a _k＋1(k＝1，2，…，n－1)，并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；

 

（3）發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為P_n（b）.對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求P_n（b）.

Answer 1

21.

解：（1）第1位職工的獎(jiǎng)金a₁=，

 

第2位職工的獎(jiǎng)金a₂=(1－)b，

 

第3位職工的獎(jiǎng)金a₃=(1－)²b，

……

第k位職工的獎(jiǎng)金a_k=(1－)^k－1b.

 

（2）a_k－a_k+1=(1－) ^k－1b＞0，

 

此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”等原則.

 

（3）設(shè)f_k（b）表示獎(jiǎng)金發(fā)給第k位職工后所剩余款，則

f₁(b)=(1－)b，f₂(b)=(1－)²b，…，

 

f_k (b)=(1－) ^kb，

 

得P_n(b)=f_n（b）=(1－)ⁿb.

 

得P_n(b)=.