Question

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F分別是AB，CD的中點．
（1）若AB=BC=CD=AD=AC=BD=2a，求EF的長；
（2）若AD=BC=2a，EF=

3

a，求異面直線AD與BC所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）如圖所示．連接EC，ED．利用△ABC是等邊三角形可得CE，同理可得ED，再利用等腰三角形的性質和直角三角形的邊角關系即可得出．
（2）如圖所示，取AC的中點M，連接EM，FM．利用三角形的中位線定理可得EM

∥

.

1

2

BC，FM

∥

.

1

2

AD．
因此∠EMF或其補角即為異面直線AD與BC所成的角，在△EFM中，利用余弦定理即可得出．

解答：解：（1）如圖所示．
連接EC，ED．
∵AB=BC=AC=2a，
∴△ABC是等邊三角形．
又AE=EB，∴CE⊥AB．
∴CE=

3

a．
同理DE=

3

a．
在△CED中，∵CE=ED=

3

a，CF=FD=a，
∴EF=

CE2-CF2

=

2

a；
（2）如圖所示，取AC的中點M，連接EM，FM．
∵E，F分別是AB，CD的中點，
∴EM

∥

.

1

2

BC，FM

∥

.

1

2

AD．
∴∠EMF或其補角即為異面直線AD與BC所成的角，
又AD=BC=2a，
∴EM=FM=a．
在△EFM中，由余弦定理可得：cos∠EMF=

EM2+FM2-EF2

2EM•FM

=

a2×2-( 3 a)2

2×a2

=-

1

2

．
∴異面直線AD與BC所成的角的余弦值為

1

2

．

點評：本題考查了等邊三角形和等腰三角形的性質和直角三角形的邊角關系、三角形的中位線定理、異面直線所成的角、余弦定理，屬于中檔題．