Question

（本題滿分12分）如圖所示，已知四棱錐S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點，SA⊥底面ABCD，SA=AD=1，AB=.

（1）求證：MN⊥平面ABN；（2）求二面角A—BN—C的余弦值

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析； （2）所求的二面角的余弦值為。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，求出向量 ，計算從而證明∴ 即可證明MN⊥平面ABN；

（II）求平面NBC的法向量，平面ABN的法向量，利用向量的數量積求得二面角A-BN-C的余弦值．

解：法一 ：以A點為原點，AB為x軸，AD為y軸，AD為z軸的空間直角坐標系，

                      則依題意可知相關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），

D（0，1，0），S（0，0，1）……………………2分

…………………………4分

∴MN⊥平面ABN.………………………………………6分

（2）設平面NBC的法向量且又易知

令a=1，則……………………………………9分

顯然，就是平面ABN的法向量.

………………………………………10分

………………………………………12分

法二：（1）由題意知連則可求，則

…………………………6分

 （2）因為，在平面內作且，

又在，所以，

且  故所求的二面角的余弦值為………………………12分

考點：本題主要考查向量法證明直線與平面的垂直，二面角的求法，考查學生計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．

點評：解決該試題的關鍵是合理的建立空間直角坐標系，然后準確的表示點的坐標，和法向量的坐標，進而得到垂直的判定和二面角的平面角的求解。