Question

（2012•南寧模擬）已知F，F'分別是橢圓C₁：17x²+16y²=17的上、下焦點，直線l₁過點F'且垂直于橢圓長軸，動直線l₂垂直l₁于點G，線段GF的垂直平分線交l₂于點H，點H的軌跡為C₂．
（Ⅰ）求軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）若動點P在直線l：x-y-2=0上運動，且過點P作軌跡C₂的兩務切線PA、PB，切點為A、B，試猜想∠PFA與∠PFB的大小關系，并證明你的結論的正確性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓方程確定橢圓半焦距長及焦點坐標，從而可得動點H到定直線l：y=-

1

4

與定點F（0，

1

4

）的距離相等，利用拋物線的定義，即可確定軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA=∠PFB．證明先確定切線AP、BP的方程，聯立方程組可解得P的坐標，進而利用向量的夾角公式，即可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵17x²+16y²=17，∴

y2

17 16

+x2=1
∴橢圓半焦距長為

1

4

，F′（0，-

1

4

），F（0，

1

4

），
∵|HG|=|HF|
∴動點H到定直線l：y=-

1

4

與定點F（0，

1

4

）的距離相等
∴動點H的軌跡是以定直線l；y=-

1

4

為準線，定點F（0，

1

4

）為焦點的拋物線
∴軌跡C₂的方程是x²=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA=∠PFB
證明如下：由（Ⅰ）可設A(x1，x12)，B(x2，x22)（x₁≠x₂）
∴切線AP的方程為：2x1x-y-x12=0，切線BP的方程為：2x2x-y-x22=0
聯立方程組可解得P的坐標為xP=

x1+x2

2

，y_P=x₁x₂
∵P在拋物線外，∴|

FP

|≠0
∵

FA

=(x1，x12-

1

4

)，

FP

=（

x1+x2

2

，x1x2-

1

4

），

FB

=(x2，x22-

1

4

)
∴cos∠AFP=

FP • FA

| FP || FA |

=

x1x2+ 1 4

| FP |

同理cos∠BFP=

FP • FB

| FP || FB |

=

x1x2+ 1 4

| FP |

∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠PFA=∠PFB．

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查拋物線的切線，考查向量知識的運用，正確運用向量的夾角公式是關鍵．