Question

某地開發了一個旅游景點，第1年的游客約為100萬人，第2年的游客約為120萬人.某數學興趣小組綜合各種因素預測：①該景點每年的游客人數會逐年增加；②該景點每年的游客都達不到130萬人.該興趣小組想找一個函數來擬合該景點對外開放的第年與當年的游客人數（單位：萬人）之間的關系.
（1）根據上述兩點預測，請用數學語言描述函數所具有的性質；
（2）若=，試確定的值，并考察該函數是否符合上述兩點預測；
（3）若=，欲使得該函數符合上述兩點預測，試確定的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）易知函數在定義域上是增函數，函數值不大于130；（2）把前兩年的數據即（1,100），（2,120）代入函數的解析式，解關于的方程組即可求出的值，再考查所得的函數是否具有（1）中的兩條性質；（3）由（1,100），（2,120）兩組數據，可得到的兩個關系式，用表示，問題就轉化為一個含有參數的函數具備兩條性質，求參數取值范圍的問題，可用導數知識和解決不等式恒成立問題的一般方法解決.
試題解析：（1）預測①：在上單調遞增；
預測②：對恒成立；                             2分
（2）將（1，100）、（2、120）代入到中，得，解得.
5分
因為，所以，
故在上單調遞增，符合預測①；                           7分
又當時，，所以此時不符合預測②.    9分
（3）由，解得.                        11分
因為，要想符合預測①，則，
即，從而或.                              12分
[1]當時，，此時符合預測①，但由，解得，
即當時，，所以此時不符合預測②；13分
[2]當，，此時符合預測①，又由，知，所以，從而.
欲也符合預測②，則，即，又，解得.
綜上所述，的取值范圍是.                                  16分