Question

下面命題：
①當x＞0時，2x+

1

2x

的最小值為2；
②過定點P（2，3）的直線與兩坐標軸圍成的面積為13，這樣的直線有四條；
③將函數y=cos2x的圖象向右平移

π

6

個單位，可以得到函數y=sin（2x-

π

6

）的圖象；
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，則此三角形周長可以為12．
其中正確的命題是（　　）

• A、①②④
• B、②④
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：①由于基本不等式等號成立的條件不具備，故2x+

1

2x

的最小值大于2，故①不正確．
②設過定點P（2，3）的直線的方程，求出它與兩坐標軸的交點，根據條件可得4k²+14k+9=0，或 
4k²-38k+9=0． 而這兩個方程的判別式都大于0，故每個方程都有兩個解，故滿足條件的直線有四條．
③將函數y=cos2x的圖象向右平移

π

6

個單位，可以得到函數y-sin（2x-

π

6

）的圖象，故③不正確．
④若△ABC中，∠A=60°，a=4，則此三角形周長可以為12，此時，三角形是等邊三角形．

解答：解：①∵2x+

1

2x

≥2

1

=2，（當且僅當 x=0時，等號成立），故當x＞0時，2x+

1

2x

的最小值大于2，
故①不正確．
②設過定點P（2，3）的直線的方程為 y-3=k（x-2），它與兩坐標軸的交點分別為
（2-

3

k

，0），（0，3-2k），
根據直線與兩坐標軸圍成的面積為13=

1

2

|(3-2k)×(2-

3

k

)|，
化簡可得 4k²+14k+9=0，或 4k²-38k+9=0． 而這兩個方程的判別式都大于0，
故每個方程都有兩個解，故滿足條件的直線有四條，故②正確．
③將函數y=cos2x的圖象向右平移

π

6

個單位，可以得到函數y=cos2（ x-

π

6

）=sin[

π

2

-（2x-

π

3

 ）]
=sin（ 

π

6

- 2x ）=-sin（2x-

π

6

）的圖象，故③不正確．
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，則此三角形周長可以為12，此時，三角形是等邊三角形，故④正確．
故選B．

點評：本題基本不等式取等號的條件，過定點的直線，三角函數的圖象變換，誘導公式的應用，檢驗基本不等式等號成立的條件，是解題的易錯點．