Question

【題目】已知f（x）=ex（ax﹣1），g（x）=a（x﹣1），a∈R．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若有且僅有兩個整數xi（i=1，2），使得f（xi）＜g（xi）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因f′（x）=ex（ax+a﹣1）．

所以，當a=0時，f′（x）＜0在R上恒成立，

即f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞減；

當a＞0時，f′（x）＞0的解為 ，

即f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減；

當a＜0時，f′（x）＞0的解為 ，

即f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減．

（2）解：

法一：當a=0時，f（x）=﹣ex，g（x）=0，

此時f（x）＜g（x）的解集為R，所以此情況舍去；

當a＜0時，f（0）=﹣1＜g（0）=﹣a，f（1）=e（a﹣1）＜g（1）=0，f（2）=e2（2a﹣1）＜g（2）=a．

可見f（x）＜g（x）的解集不僅僅兩個整數解，此情況舍去；

當a＞0時，

由（1）可知f（x）的極值點為 ，

又f（0）=﹣1，g（1）=0， ，而且，f（x）僅有一個零點 ．

若 ，即a≥1時，

由（1）知f（x）的單調性，以及 ，

有f（x）與g（x）的草圖如下：

因 ，

所以在（﹣∞，﹣1]上f（x）單調遞減，g（x）單調遞增，

所以 ．g（x）max=g（﹣1）=﹣2a，

所以在（﹣∞，﹣1]上f（x）＞g（x）恒成立．

又f（0）=﹣1＞g（0）=﹣a，在x∈[1，+∞）上，又a≥1，所以，ex＞1，ax﹣1≥0，

所以f（x）=ex（ax﹣1）＞ax﹣1=a（x﹣1）+a﹣1≥a（x﹣1）=g（x）

所以在a≥1時，在R上沒有使得f（x）＜g（x）的整數解存在；

若 ，即o＜a＜1時，f（x）與g（x）的草圖如下：

因為f（0）=﹣1＜﹣a=g（0），f（1）=e（a﹣1）＜0=g（1），

若 ，解得 ．

而由上知在（﹣∞，﹣1）上f（x）＞g（x）恒成立，

下證明在x∈[2，+∞）上， 時，f（x）≥g（x）恒成立，

令函數h（x）=f（x）﹣g（x），x∈[2，+∞），則h'（x）=ex（ax﹣1+a）﹣a，

因為x∈[2，+∞）， ，所以 ，

所以 ，

即h'（x）＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，

所以函數h（x）在[2，+∞）上單調遞增，所以h（x）≥h（2）=（2e2﹣1）a﹣e2≥0

所以在x∈[2，+∞）上， 時，f（x）≥g（x）恒成立．

綜上： ．

法二：若有且僅有兩個整數xi（i=1，2），使得f（xi）＜g（xi）成立，

則a（xex﹣x+1）＜ex有兩個整數解．

因為y=x（ex﹣1）+1，當x＞0時，ex﹣1＞0，x（ex﹣1）+1》＞0；

當x＜0時，ex﹣1＜0，x（ex﹣1）+1》＞0，

所以， 有兩個整數解

設g（x）= ，則 ，

令h（x）=2﹣x﹣ex，則h′（x）=﹣1﹣ex《＜0，

又h（0）=1＞0，h（（1）=1﹣e＜0，

所以x0∈（0，1），使得h（x0）=0，

∴g（x）在為增函數，在（x0，+∞）為減函數，

∴ 有兩個整數解的充要條件是：

，

解得：

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；（2）法一：分別求出f（x）和g（x）的特殊值，通過a的范圍，通過觀察f（x），g（x）的圖象求出a的范圍即可；法二：分離參數，問題轉化為 有兩個整數解，得到關于a的不等式組，解出即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．