Question

已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F以及橢圓C₂：

y2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x²+y²=1上．
（Ⅰ）求拋物線C₁和橢圓C₂的標準方程；
（Ⅱ）過點F的直線交拋物線C₁于A、B兩不同點，交y軸于點N，已知

NA

=λ1

AF

， 

NB

 =λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂為定值．
（Ⅲ）直線l交橢圓C₂于P、Q兩不同點，P、Q在x軸的射影分別為P'、Q'，

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

 +1=0，若點S滿足：

OS

= 

OP

 +

OQ

，證明：點S在橢圓C₂上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由C₁：y²=2px（p＞0）焦點F（

p

2

，0）在圓O：x²+y²=1上，可求p的值；同理由橢圓的上、下焦點（0，c），（0，-c）及左、右頂點（-b，0），（b，0）均在圓O：x²+y²=1上可解得橢圓C₂的方程；
（Ⅱ）設直線AB的方程與拋物線聯立，消元，利用韋達定理，結合

NA

=λ1

AF

， 

NB

 =λ2

BF

，從而可求λ₁、λ₂的值，即可得證；
（Ⅲ）設P，Q的坐標，利用

OS

= 

OP

 +

OQ

，確定S的坐標，利用

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

 +1=0及P，Q在橢圓上，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：由C₁：y²=2px（p＞0）焦點F（

p

2

，0）在圓O：x²+y²=1上得：

p2

4

=1，∴p=2
∴拋物線C₁：y²=4x…（2分）
同理由橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的上、下焦點（0，c），（0，-c）及左、右頂點（-b，0），（b，0）均在圓O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，a=

2

∴橢圓C₂：x2+

y2

2

=1
（Ⅱ）證明：設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則N（0，-k）
直線與拋物線聯立，消元可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
∵

NA

=λ1

AF

， 

NB

 =λ2

BF

∴λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂
∴λ1=

x1

1-x1

，λ2=

x2

1-x2

∴λ₁+λ₂=

(x1+x2)-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=-1為定值；
（Ⅲ）證明：設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則P′（x₃，0），Q′（x₄，0），
∵

OS

= 

OP

 +

OQ

，∴S（x₃+x₄，y₃+y₄）
∵

OP

•

OQ

+

OP′

•

OQ′

 +1=0
∴2x₃x₄+y₃y₄=-1①
∵P，Q在橢圓上，∴

x

2 3

+

y 2 3

2

=1②，

x

2 4

+

y 2 4

2

=1③
由①+②+③得（x₃+x₄）²+

(y3+y4)2

2

=1
∴點S在橢圓C₂上

點評：本題考查拋物線與橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是聯立方程，利用向量知識求解．