Question

已知m，n，l是互不重合的直線，α，β是互不重合的平面，有下列命題：
①若直線l上有兩個不同的點到平面α的距離相等，則l∥α；
②設m，n是兩條異面直線，若m?α，n∥α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α；
③若m⊥α，m⊥n，則n∥α；
④若m，n是兩條異面直線，且m，n都平行于平面α和平面β，則α和β相互平行；
⑤若在平面α內有不共線的四點到平面β的距離相等，則α∥β；
其中所有真命題的序號是

 

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Answer 1

分析：根據點到平面距離的性質結合舉反例加以說明，可得①⑤都不正確；根據線面平行的性質結合線面垂直的判定定理，可證出②是真命題；根據垂直于同一直線的平面與直線的位置關系，得到③不正確；根據面面平行的判定與性質，可證出④是真命題．由此即可得到本題的答案．

解答：解：對于①，若線段AB的中點O在平面α內時，點A、B到平面α的距離相等．
但此時直線AB與平面α相交，不能得到l∥α，故①不正確；
對于②，因為n∥α，所以經過n的平面β與α相交，設交線為k，則可得n∥k，
由l⊥n得l⊥k，結合l⊥m且m、k是平面α內的相交直線，可得l⊥α，故②是真命題；
對于③，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α．不一定得到n∥α，故③不正確；
對于④，因為m、n是兩條異面直線，所以經過平面α、β外的一點O，
經過O引直線l∥m，k∥n，設l、k確定的平面為γ，
因為m、n都平行于平面α，所以平面γ內一組相交直線l、k都與α平行，可得γ∥α．
同理可得γ∥β，因此α∥β成立，故④是真命題；
對于⑤，設平行四邊形ABCD所在的平面為α，
若平行四邊形ABCD中，E、F分別為對邊AB、CD的中點，當點E、F位于平面β內時，
可得平面α內A、B、C、D到平面β的距離相等，且A、B、C、D四點不共面
此時平面α、β是相交平面，不滿足α∥β．故⑤不正確
綜上所述，正確命題的序號為②④
故答案為：②④

點評：本題給出關于空間位置關系的幾個命題，求其中的真命題．著重考查了空間線面平行、線面垂直的判定與性質，以及面面平行和面面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．