Question

【題目】如圖，直四棱柱的所有棱長均為2， 為中點.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若，求平面與平面所成銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)45°.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)連結交于，取中點，連結.由題意可得是平行四邊形，故.利用中位線的性質可得四邊形為平行四邊形.則，結合線面平行的判斷定理可得平面.

(Ⅱ)以為原點，建立空間直角坐標系，結合點的坐標可求得平面的法向量，顯然平面的一個法向量，據此計算可得平面與平面所成銳二面角的大小為45°.

試題解析：

(Ⅰ)連結交于，取中點，連結.

因為，所以是平行四邊形，故.

又是的中位線，故，所以，

所以四邊形為平行四邊形.

所以，所以，

又平面， 平面，

所以平面.

(Ⅱ)以為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則， ， ， ， ，

設平面的法向量，

則，即，

解得，

令，得，

顯然平面的一個法向量，

所以，

所以平面與平面所成銳二面角的大小為45°.