Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）證明：{a_n-1}是等比數列；
（2）求數列{S_n}的通項公式．請指出n為何值時，S_n取得最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用題設中所給的恒等式進行變換，先得到S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．與已知中S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．作差整理即可得到證明；
（2）由（1）S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．變形可得S_n+1-（n+1）+90=

5

6

（S_n-n+90），此是一等比數列，求出它的通項則可以得到數列{S_n}的通項公式，對數列的相鄰兩項作差，研究其單調性即可得出S_n取得最小值時的n是1

解答：解：（1）∵S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
∴S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．
兩式作差得a_n+1=1-5a_n+1+5a_n，即6（a_n+1-1）=5（a_n-1），即（a_n+1-1）=

5

6

（a_n-1），n∈N^*．
故{a_n-1}是等比數列
（2）由（1）S_n+1=n+1-5a_n+1-85，n∈N^*．得S_n+1=n+1-5（S_n+1-S_n）-85，n∈N^*．
得6S_n+1=n+5S_n-84，即6[S_n+1-（n+1）]=5（S_n-n）-90，
即S_n+1-（n+1）=

5

6

（S_n-n）-15
整理得S_n+1-（n+1）+90=

5

6

（S_n-n+90）
故{S_n-n+90}是一個等比數列，其公比為

5

6

，由于a₁=1-5a₁-85，得a₁=-14
故{S_n-n+90}的首項為-14-1+90=75
故S_n-n+90=75×(

5

6

)n-1，即S_n=n-90+75×(

5

6

)n-1，
由于S_n+1-S_n=1-

75

6

×(

5

6

)n-1，令S_n+1-S_n＞0，對n賦值驗證知n＞15時成立，即S_n其最小值是S₁₅

點評：本題考查等比關系的確定，求解本題的關鍵是根據題設中所給的恒成立的方程靈活變形得出形式為公比的形式，故此類題雖然比較抽象，但也有其規律可循，即變形的目標相對確定，解對本題要注意對數列的函數的特性的研究方法即對相鄰兩項作差確定其單調性，從而求了最小值，此方法不易引起初學者注意，切記．