Question

已知函數f（x）=2x³-2x²+x+．
（1）求證：f（x）在R上是增函數；
（2）設a₁=0，a_n+1= （n∈N₊），b₁=，b_n+1= （n∈N₊）．
①用數學歸納法證明：0＜a_n＜b_n＜（n＞1，n∈N）；
②證明：b_n+1-a_n+1＜ （n∈N）．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過函數的導數，判斷導函數的正負，然后證明f（x）在R上是增函數；
（2）利用a₁=0，a_n+1= （n∈N₊），b₁=，b_n+1= （n∈N₊）．
①直接利用數學歸納法證明的步驟證明：0＜a_n＜b_n＜（n＞1，n∈N）；
②利用放縮法證明：b_n+1-a_n+1＜ （n∈N）．
解答：證明：（1），
∴f（x）在R上是增函數．…（4分）
（2）①用數學歸納法證明.1當n=2時，，，
∴，不等式成立．…（6分）
2假設n=k（k＞1，k∈N）時不等式成立，即．
∵f（x）在R上是增函數，∴，
故，即，
∴n=k+1時不等式也成立．
由1、2得不等式對一切n＞1，n∈N都成立．…（10分）
②由①知，∴0＜a_n+b_n＜1．
∴
=
=                      …（13分）

=．…（16分）
點評：本題考查好的導數判斷函數的單調性，數學歸納法證明不等式的方法，放縮法證明不等式的方法，考查分析問題解決問題的能力．