Question

已知函數f（x）=b•a^x（其中a，b為常量，且a＞0，a≠1）的圖象經過A(1，

1

6

)，B(3，

1

24

)
（1）試確定f（x）的解析式；
（2）若不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≤m在x∈（-∞，1]時恒成立，求實數m的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用圖象過A，B兩點，將兩點坐標代入即可求出a，b．
（2）

解答：解：（1）因為函數f（x）=b•a^x的圖象經過A(1，

1

6

)，B(3，

1

24

)，所以

ab= 1 6 a3b= 1 24

，解得a=

1

2

，b=

1

3

．
所以f(x)=

1

3

?(

1

2

)x．
（2）不等式(

1

a

)x+(

1

b

)x≤m為2^x+3^x≤m，設g（x）=2^x+3^x，則函數g（x）在∈（-∞，1]上單調遞增，所以g（x）≤2+3=5．
所以m≥5．，即實數m的最小值是5．

點評：本題考查了指數函數的圖象和性質．不等式恒成立問題往往轉化為最值恒成立．