Question

（2013•鹽城三模）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=

.

1 a b 1

.

對應的變換將點A（1，1）變為A′（0，2），將曲線C：xy=1變為曲線C′．
（1）求實數a，b的值；
（2）求曲線C′的方程．

Answer 1

分析：（1）先根據矩陣M對應的變換將點A（1，1）變為A′（0，2），建立二元一次方程組求出實數a，b的值；
（2）由（1）得矩陣M，然后設曲線C：xy=1上的任意一點P（x'，y'），變換后的點為P'（x，y）的關系，將點P（x'，y'）的坐標代入曲線C：xy=1的方程即可求出曲線C′的方程．

解答：解：（1）由已知得M

1′ 1′

=

0′ 2′

，即

1 a b 1

1′ 1′

=

0′ 2′

，∴

1+a=0 b+1=2

∴

a=-1 b=1

．
（2）設點P（x'，y'）是曲線C：xy=1上的任意一點，變換后的點為P'（x，y）
則

1 -1 1 1

x′′ y′′

=

x′ y′

，即

x′-y′=x x′+y′=y

，解得

x′= x+y 2 y′= y-x 2

，
因為x′y′=1，所以

y+x

2

×

y-x

2

=1，即

y2

4

-

x2

4

=1．即曲線C′的方程為

y2

4

-

x2

4

=1．

點評：本題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想．