Question

設函數f（x）=x²-xlnx+2，
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若存在區間[a，b]⊆[

1

2

，+∞)，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函數f（x）=x²-xlnx+2，對f（x）進行求導，利用導數求函數的單調區間；
（Ⅱ）要求存在區間，使f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，將其轉化為f（x）=k（x+2）在[

1

2

，+∞）上至少有兩個不同的正根，再利用導數求出k的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）令g（x）=f′（x）=2x-lnx+1（x＞0），則g′（x）=2-

1

x

=

2x-1

x

，（x＞0）
令g′（x）=0，得x=

1

2

，
當0＜x＜

1

2

時，g′（x）＜0，g（x）為減函數；
當x≥

1

2

時，g′（x）≥0，g（x）為增函數；
所以g（x）在（0，

1

2

）單調遞減，在[

1

2

，+∞）單調遞增，
則g（x）的最小值為g（

1

2

）=ln2＞0，
所以f′（x）=g（x）≥g（

1

2

）＞0，
所以f（x）的單調遞增區間是（0，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）在區間[a，b]⊆[

1

2

，+∞）遞增，
∵f（x）在[a，b]上的值域是[k（a+2），k（b+2）]，
所以f（a）=k（a+2），f（b）=k（b+2），

1

2

≤a＜b，
則f（x）=k（x+2）在[

1

2

，+∞）上至少有兩個不同的正根，
k=

f(x)

x+2

，令F（x）=

f(x)

x+2

=

x2-xlnx+2

x+2

(x≥

1

2

)，
求導得，F′（x）=

x2+3x-2lnx-4

(x+2)2

（x≥

1

2

），
令G（x）=x²+3x-2lnx-4（x≥

1

2

）
則G′（x）=2x+3-

2

x

=

(2x-1)(x+2)

x

≥0
所以G（x）在[

1

2

，+∞）遞增，G（

1

2

）＜0，G（1）=0，
當x∈[

1

2

，1]時，G（x）＜0，∴F′（x）＜0，
當x∈[1，+∞]時，G（x）＞0，∴F′（x）＞0，
所以F（x）在[

1

2

，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴F（1）＜k≤F（

1

2

），
∴k∈（1，

9+2ln2

10

]；

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，利用了轉化的思想，此題是一道中檔題；