Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知是橢圓上的任意一點(diǎn)，，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）時(shí)，時(shí)，，時(shí)，．

【解析】

試題分析：（1）由已知橢圓，求得相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出所求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)橢圓的定義，求解的值，即求解橢圓的方程；（2）設(shè)，得到，且，設(shè)，即可利用函數(shù)的性質(zhì)，求解的最小值．

試題解析：（1）由已知橢圓，相應(yīng)的焦點(diǎn)分別為，則橢圓的焦點(diǎn)分別為，設(shè)橢圓的方程為，

∵，

∴，∴，

∴橢圓的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）設(shè)，則，

，

令，∵，

∴時(shí)，；時(shí)，；

時(shí)，．綜上所述：時(shí)， 時(shí)，；時(shí)，．．．．．．．．．．．．．．．6分