Question

【題目】已知雙曲線的左、右頂點分別為，直線與雙曲線交于，直線交直線于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若點的軌跡與矩形的四條邊都相切，探究矩形對角線長是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：(1)利用交軌法，求出點的軌跡方程；(2) 設點，過點作橢圓的切線，則切線的斜率存在且不為0，設斜率為，則切線方程為，

代入到橢圓方程整理，得.由得到

，這個關于的一元二次方程的兩根即為與，

由，可知，即，即點為矩形外接圓的圓心，其中為直徑，大小為，故矩形對角線長為定值.

試題解析：

（1）設點， ， ，其中.

由題意，得， .

由，①

，②

兩式相乘得.

∵，

∴，

代入上式得

，

由①與，得，

①÷②，得.

故點的軌跡方程為.

（2）設點，過點作橢圓的切線，

則切線的斜率存在且不為0，設斜率為，

則切線方程為，

代入到橢圓方程整理，

得.

，

即.

這個關于的一元二次方程的兩根即為與，

由，

得.

設為坐標原點，故可知，

同理，得，

即點為矩形外接圓的圓心，其中為直徑，大小為，

故矩形對角線長為定值.