Question

【題目】已知橢圓 ： 的離心率為 ，且以兩焦點為直徑的圓的內接正方形面積為2．
（1）求橢圓 的標準方程；
（2）若直線 ： 與橢圓 相交于 ， 兩點，在 軸上是否存在點 ，使直線 與 的斜率之和 為定值？若存在，求出點 坐標及該定值，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得 解得 ， ，
故答案為：所求橢圓方程為 ．
（2）由 得 ，
則 ，解得 或 ．
設 ， ，
則 ， ，
設存在點 ，則 ， ，
所以 ．
要使 為定值，只需 與參數 無關，
故 ，解得 ，
當 時， ．
故答案為：存在點 ，使得 為定值，且定值為0．
【解析】（1）由已知條件得到關于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓方程.
（2）將直線和橢圓方程聯立成方程組，消去y，得關于x的一元二次方程，結合韋達定理將斜率和表示出來，由式子為定值求m的值.