Question

【題目】已知橢圓的離心率是，短軸的一個端點到右焦點的距離為，直線與橢圓交于兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）當實數變化時，求的最大值；

（3）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）有最大值；（3）面積的最大值為.

【解析】試題分析：⑴由橢圓的離心率是，短軸的一個端點到右焦點的距離為，列出方程組，求出及，由此能求出橢圓的方程；

⑵聯立直線方程和橢圓方程消去，求出的橫坐標，代入直線方程求出對應的縱坐標，代入兩點間的距離，求出，

⑶求出點到直線的距離，從而求得的面積的表達式，運用不等式計算求得結果

解析：（1）由題意得，得，從而，

所以橢圓的方程為；

（2）設，聯立消去，整理得，

由題意知，

所以， ，

所以，

所以當且僅當時， 有最大值；

（3）點到直線的距離為，從而的面積為

，

（當且僅當，即時，等號成立．）

所以面積的最大值為．