Question

一個幾何體是由圓柱ADD₁A₁和三棱錐E-ABC組合而成，點A、B、C在圓柱上底面圓O的圓周上，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，其正視圖、側視圖如圖所示．

（1）求證：AC⊥BD；
（2）求銳二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，由線面垂直的性質可得ED⊥AC，結合AC⊥AB，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由線面垂直的性質得到AC⊥BD；
（2）分別求出平面ABD與平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-BD-C的平面角的大小．

解答：解：（1）證明：因為EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因為AC⊥AB，AB∩ED=A，
所以AC⊥平面EBD．
因為BD?平面EBD，
所以AC⊥BD．…（5分）
（2）設n=（x，y，z）是平面BCD的法向量，因為

BC

=(0，-4，0)，
所以

n• BC =0 n• DB =0.

即

-4y=0 2x+2y+2z=0.

取z=-1，則n=（1，0，-1）是平面BCD的一個法向量．
由（1）知，AC⊥BD，又因為AC⊥AB，AB∩BD=B，
所以AC⊥平面ABD．
所以

AC

=(2，-2，0)是平面ABD的一個法向量．
因為cos?n，

AC

＞=

n• AC

|n|•| AC |

=

2

2 ×2 2

=

1

2

，
所以?n，

AC

＞=60°．
而?n，

AC

＞等于二面角A-BD-C的平面角，
所以二面角A-BD-C的平面角大小為60°．…（12分）

點評：本題考查的知識點是由幾何體的結構特征得到線線垂直，進而建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題．