Question

（09年東城區期末理）(14分)

已知點(N)順次為直線上的點,點(N)順次為軸上的點,其中,對任意的N,點、、構成以為頂點的等腰三角形.

(Ⅰ)證明:數列是等差數列;

(Ⅱ)求證:對任意的N,是常數,并求數列的通項公式;

  (Ⅲ)在上述等腰三角形中是否存在直角三角形,若存在,求出此時的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ)依題意有,于是.

所以數列是等差數列.                      ………………….4分

(Ⅱ)由題意得,即 , ()         ①

所以又有.                        ②    ………6分

由②①得,

可知都是等差數列.那么得

,

.    (       

故                            …………10分

(Ⅲ)當為奇數時,,所以

當為偶數時,所以  

作軸,垂足為則,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只需.                 

當為奇數時,有,即 .             ①

當時,;當時,;當, ①式無解.

當為偶數時,有,同理可求得.      

綜上所述,上述等腰三角形中存在直角三角形,此時的值為或

或.                                     ……………………..14分