Question

已知函數f（x）=ax²+bx（a≠0）的導函數f'（x）=-4x+22，數列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（Ⅱ）存在k∈N^*，使得對任意n∈N^*恒成立，求出k的最小值；
（Ⅲ）是否存在m∈N^*，使得為數列{a_n}中的項？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出其導函數，根據f'（x）=-4x+22求出a=-2，b=22；代入可得S_n=-2n²+22n；再結合前n項和和通項之間的關系即可求出數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）先求出，知道當n=10或n=11時，有最大值是110，即可求出k的最小值；
（Ⅲ）先假設存在．再根據其是數列中的項，滿足數列的通項公式即可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=ax²+bx（a≠0），所以f'（x）=2ax+b．
因為f'（x）=-4x+22，所以a=-2，b=22．
所以f（x）=-2x²+22x．
因為點P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，
所以S_n=-2n²+22n．當n=1時，a₁=S₁=20，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-4n+24，
所以a_n=-4n+24（n∈N^*）．（4分）
（Ⅱ）存在k∈N^*，使得對任意n∈N^*恒成立．
只要
由（Ⅰ）知S_n=-2n²+22n，
所以．
當n＜11時，；當n=11時，；當n＞11時，；
所以當n=10或n=11時，有最大值是110．
所以k＞110，又因為k∈N^*，
所以k的最小值為111．（8分）
（Ⅲ）存在m∈N^*，使得為數列a_n中的項．
由（Ⅰ）知a_n=24-4n，
所以a_m=24-4m，a_m+1=20-4m，a_m+2=16-4m，
所以．
令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以，
如果是數列a_n中的項，那么為小于等于5的整數，
所以t∈{-2，-1，1，2}．
當t=1或t=2時，，不合題意；
當t=-1或t=-2時，，符合題意．
所以，當t=-1或t=-2時，即m=5或m=6時，為數列{a_n}中的項．（13分）
點評：本題主要考查數列和函數的綜合以及恒成立問題．考查轉化思想，分類討論思想，是對知識和思想方法的綜合考查，屬于難題．