Question

已知函數f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值為3，f（x）的圖象在y軸上的截距為2，其相鄰兩對稱軸間的距離為2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=

 

．

Answer 1

分析：先將原函數用降冪公式轉化為：f（x）=

A

2

cos（2ωx+2?）+

A

2

+1，求出函數的A，T，ω，通過f（x）的圖象在y軸上的截距為2，求出φ，得到函數的表達式，然后求出所求的值．

解答：解：將原函數f（x）=Acos²（ωx+?）+1轉化為：f（x）=

A

2

cos（2ωx+2?）+

A

2

+1
相鄰兩對稱軸間的距離為2可知周期為：4，則2ω=

2π

4

=

π

2

，ω=

π

4

由最大值為3，可知A=2
又∵圖象經過點（0，2），
∴cos2?=0
∴2∅=kπ+

π

2

∴f（x）=cos（

π

2

x+kπ+

π

2

）+2=2±sin（

π

2

x）
∵f（1）=2+1，f（2）=0+2，f（3）=-1+2，f（4）=0+2…
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502×8+5=4021
或f（1）=2-1，f（2）=0+2，f（3）=1+2，f（4）=0+2…
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=502×8+3=4019
故答案為：4021或4019

點評：本題是基礎題，考查三角函數的表達式的求法，函數的值的求法，考查計算能力．