Question

【題目】已知⊙的半徑為，圓心的坐標為，其中．，為該圓的兩條切線，為坐標原點，，為切點，在第一象限，在第四象限．

（）若時，求切線，的斜率．

（）若時，求外接圓的標準方程．

（）當點在軸上運動時，將表示成的函數，并求函數的最小值．

Answer 1

【答案】(1)斜率為，為．

(2).

(3).

【解析】分析：（1）設出切線方程，根據圓心到切線的距離等于半徑可得斜率．（2）由題意外接圓的圓心在軸上，設為．結合平面幾何的有關知識可得圓心為，半徑為，進而可得圓的方程．（3）結合（2）中的結論可得點的坐標，進而得向量的坐標，然后根據數量積的結果和函數的單調性可得所求．

詳解：（）當時，圓的方程為．

由題意得過點的圓的切線的斜率存在，設其方程為，

由直線和圓相切得，

解得．

所以斜率為，為．

（）由題意外接圓的圓心在軸上，設為，

由平面幾何知識得，

可得，．

又，

即，

解得．

所以外接圓圓心為，半徑為．

所以圓．

（）由（）知，

可得，，

所以，，，

所以．

所以，

易得函數在區間上單調遞減，

所以當時，取得最小值為．